Каковы права и обязанности работодателя в данной ситуации?

В соответствии со ст.135 Трудового Кодекса, заработная плата устанавливается работнику трудовым договором, то есть изменение заработной платы возможно только оформлением дополнительного соглашения между работником и работодателем, подписанному с обеих сторон.

Премия в силу ч. 1 ст. 129 ТК РФ является частью заработной платы. При этом премирование — это один из видов поощрения работников, которые добросовестно исполняют трудовые обязанности. Данный вывод следует из ч. 1 ст. 191 ТК РФ.
Особенности премирования у конкретного работодателя устанавливаются коллективным договором, соглашением, локальным нормативным актом (например, положением о премировании) в соответствии с трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права. Это следует из ч. 2 ст. 135 ТК РФ. Таким образом, для того чтобы понимать правомерно ли невыплата премии необходимо смотреть положение о премировании.